Бесплатная консультация юриста

+7 (800) 302-87-29

Реклама jurik.ru

Двойной интеграл — одно из важнейших понятий высшей математики, обобщающее понятие определённого интеграла на функции двух переменных․ Данное пособие поможет студентам разобраться в теории, научиться вычислять двойные интегралы и применять их для решения практических задач․

Понятие двойного интеграла

Пусть в плоскости Oxy задана замкнутая ограниченная область D, а в ней определена непрерывная функция z = f(x, y)․ Разобьём область D на n элементарных частей с площадями ΔS_i и в каждой части выберем точку (x_i, y_i)․ Составим интегральную сумму:

Σ f(x_i, y_i) · ΔS_i

Если существует предел этой суммы при стремлении наибольшего диаметра частичных областей к нулю, то он называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и обозначается:

∬_D f(x, y) dx dy

Геометрический смысл

Если f(x, y) ≥ 0 в области D, то двойной интеграл равен объёму цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x, y), снизу — областью D, а с боков — цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz․

Основные свойства двойного интеграла

Линейность: ∬(αf + βg) dx dy = α∬f dx dy + β∬g dx dy;
Аддитивность: если D = D₁ ∪ D₂ и области не пересекаются, то интеграл по D равен сумме интегралов по D₁ и D₂;
Интеграл от единицы равен площади области: ∬_D dx dy = S(D);
Теорема о среднем: существует точка (ξ, η) ∈ D, такая что ∬_D f dx dy = f(ξ, η) · S(D);
Если f(x, y) ≤ g(x, y) в области D, то и интеграл от f не превосходит интеграла от g․

Сведение двойного интеграла к повторному

Основной способ вычисления двойного интеграла — сведение его к повторному (итерированному) интегралу․

Область, правильная в направлении оси Oy

Если область D ограничена прямыми x = a, x = b (a < b) и кривыми y = φ₁(x), y = φ₂(x), где φ₁(x) ≤ φ₂(x), то:

∬_D f(x, y) dx dy = ∫_a^b dx ∫_φ₁(x)^φ₂(x) f(x, y) dy

Сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной y (x считается постоянным), затем результат интегрируется по x․

Область, правильная в направлении оси Ox

Если область ограничена прямыми y = c, y = d и кривыми x = ψ₁(y), x = ψ₂(y), то:

∬_D f(x, y) dx dy = ∫_c^d dy ∫_ψ₁(y)^ψ₂(y) f(x, y) dx

Пример вычисления

Задача․ Вычислить ∬_D (x + y) dx dy, где D ограничена линиями y = x² и y = x․

Решение․ Найдём точки пересечения кривых: x² = x, откуда x = 0 и x = 1․ На отрезке [0; 1] прямая y = x лежит выше параболы y = x²․ Значит:

∬_D (x + y) dx dy = ∫₀¹ dx ∫_x²^x (x + y) dy

Внутренний интеграл: ∫_x²^x (x + y) dy = [xy + y²/2] = x² + x²/2 − x³ − x⁴/2 = (3/2)x² − x³ − x⁴/2․

Внешний интеграл: ∫₀¹ ((3/2)x² − x³ − x⁴/2) dx = 1/2 − 1/4 − 1/10 = 3/20․

Изменение порядка интегрирования

Иногда удобнее поменять порядок интегрирования․ Для этого необходимо:

Построить область интегрирования по заданным пределам;
Записать границы области в виде функций от другой переменной;
Расставить новые пределы интегрирования с учётом формы области․

Если область не является правильной в нужном направлении, её разбивают на части и используют свойство аддитивности․

Замена переменных․ Полярные координаты

При замене переменных x = x(u, v), y = y(u, v) справедлива формула:

∬_D f(x, y) dx dy = ∬_D’ f(x(u,v), y(u,v)) · |J| du dv,

где J — якобиан преобразования․

Для полярных координат: x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, якобиан J = ρ, поэтому:

∬_D f(x, y) dx dy = ∬_D’ f(ρ cos φ, ρ sin φ) · ρ dρ dφ

Полярные координаты особенно удобны, когда область — круг, кольцо или их части, а подынтегральная функция содержит выражение x² + y² = ρ²․

Пример

Вычислить ∬_D (x² + y²) dx dy, где D, круг x² + y² ≤ R²․

Переходим к полярным координатам: 0 ≤ ρ ≤ R, 0 ≤ φ ≤ 2π:

∫₀^2π dφ ∫₀^R ρ² · ρ dρ = 2π · R⁴/4 = πR⁴/2․

Приложения двойных интегралов

Площадь плоской фигуры: S = ∬_D dx dy;
Объём тела: V = ∬_D f(x, y) dx dy;
Масса пластины с плотностью γ(x, y): m = ∬_D γ(x, y) dx dy;
Статические моменты и координаты центра тяжести пластины;
Моменты инерции относительно осей координат;
Площадь куска поверхности z = f(x, y): S = ∬_D √(1 + (z’_x)² + (z’_y)²) dx dy․

Задачи для самостоятельной работы

Вычислить ∬_D xy dx dy, где D ограничена линиями y = x, y = 2x, x = 1․
Изменить порядок интегрирования в интеграле ∫₀¹ dy ∫_y^√y f(x, y) dx․
Вычислить ∬_D x dx dy, где D ограничена кривыми y = 3x² и y = 6 − 3x․
Перейти к полярным координатам и вычислить ∬_D √(x² + y²) dx dy, где D — кольцо 1 ≤ x² + y² ≤ 4․
Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = x² и прямой y = 2 − x․
Найти объём тела, ограниченного поверхностью z = 4 − x² − y² и плоскостью z = 0․

Двойные интегралы, мощный аппарат математического анализа, широко применяемый в геометрии, физике и механике․ Ключ к успешному освоению темы — умение правильно изображать область интегрирования, грамотно расставлять пределы в повторном интеграле и выбирать подходящую систему координат․ Регулярное решение задач поможет закрепить навыки и уверенно справляться с контрольными заданиями․